在go语言中实现欧几里德算法示例步骤详解

Go  /  管理员 发布于 2年前   470

欧几里得算法是寻找两个整数的最大公约数 (GCD) 的一种众所周知且有效的方法。

GCD 是可以整除两个整数而不留余数的最大数。

该算法以古希腊数学家欧几里德的名字命名，欧几里德在公元前 300 年左右在他的《几何原本》一书中提出了该算法。

以下是对欧几里德算法的逐步解释：

从两个正整数 a 和 b 开始，其中 a >= b。如果 a < b，只需交换它们的值。

请注意，这是为了方便数学演示，因为该实现也适用于 a < b。

a 除以 b 并求余数 r（使用模运算，表示为 a % b）。如果 r 为 0，则 GCD 为 b，算法终止。

如果 r 不为 0，则将 a 设置为 b，将 b 设置为 r。然后，重复步骤 2。

算法不断迭代，直到余数为0。此时，最后一个非零余数就是原来两个数的GCD。

欧几里德算法之所以有效，是因为当较大的数字被较小的数字除以其余数替换时，
两个数字的 GCD 保持不变。

下面是一个例子来说明算法：

1.让我们找出 30 和 9 的 GCD：

a = 30, b = 9

2.计算余数：

r = a % b = 30 % 9 = 3（因为3不为0，继续第3步）

3.更新值：

a = 9, b = 3

4.计算新的余数：

r = a % b = 9 % 3 = 0（r 现在为 0）

5.30和9的GCD是3。

为什么它有效？

两个整数的最大公约数是将两个整数整除而不留余数的最大正整数；

因此该算法基于以下关键属性：

如果aand是两个整数，则andb的 GCD 与and的 GCD 相同，其中表示取模运算符（除法后的余数）abba % b%。

在数学上，算法的关键属性可以使用除法算法来证明：

让a和b是两个正整数，这样a >= b. 我们可以将除法算法写成：

a = bq + r, 其中q是商，r是余数。

现在，令成为和d的公约数。然后，对于一些整数和。我们可以将除法算法重写为：

aba = d * m1b = d * m2m1m2
d * m1 = (d * m2) * q + r.

重新排列等式，我们得到：

r = d * (m1 - m2 * q).

由于是和d的因数，也可以写成 的倍数，我们可以得出结论也是 的约数。

这意味着和的 GCD也是 的除数。因此，我们可以替换为并继续使用此算法找到 GCD，直到变为 0。abrddrabrbrb

欧几里得算法因其高效和简单性而特别有用，使其易于在计算机算法和编程语言中实现。

让我们看看在Go中实现它的一些不同方法：

递归实现

欧几里得算法在 Golang 中的实现是一个递归版本，可以找到两个整数的 GCD。

让我们一步步来了解它：

函数定义为GCD(a, b int) int。它需要两个整数输入，a和b，并返回一个整数输出。

递归的基本情况用 进行检查if b == 0。如果为 0，则函数返回作为 GCDb的值。a

如果b不为 0，tmp则创建一个临时变量并为其赋值a。这个临时变量用于a在下一步更新它的值之前存储它的值。

a和的值b更新如下：

a被赋予了 的当前值b。

btmp当（的先前值）除以（更新前的）a的新值时，被赋予余数的值。ab

a该函数使用和b作为输入的更新值递归调用自身return GCD(a, b)。

算法继续递归调用自身，直到到达base case，即b变为0。

此时，函数返回GCD，即 的值a。

// Recursive approach:
func GCD(a, b int) int {
    if b == 0 {
        return a
    }
    tmp := a
    a = b
    b = tmp % a
    return GCD(a, b)
}

例如，假设我们想要找到 56 和 48 的 GCD：

第一次调用：GCD(56, 48)

由于b(48) 不为 0，因此更新a并b：

a变成 48

b变成 56 % 48 = 8

该函数使用新值调用自身：GCD(48, 8)

第二次调用：GCD(48, 8)

由于b(8) 不为 0，因此更新a并b：

a变成 8

b变成 48% 8 = 0

该函数使用新值调用自身：GCD(8, 0)

第三次调用：GCD(8, 0)

现在，b(0) 是 0，所以函数返回a(8) 作为 GCD。

迭代实现

Golang 中欧几里德算法的这种实现是使用循环查找两个整数的 GCD 的迭代版本。让我们逐步查看代码：

函数定义为GCD(a, b int) int。它需要两个整数输入，a和b，并返回一个整数输出。

只要b不等于0，就使用循环进行迭代。循环条件为b != 0；

请注意，Go 中的这种for循环构造本质上是while许多其他语言中的循环。

在循环内部，使用元组赋值同时更新a和的值： 。

此行执行以下操作：

ba, b = b, a%b

a被赋予了 的当前值b。

ba被赋予除以时的余数b。

当循环退出时（即b变为 0）， 的值a作为 GCD 返回。

算法迭代直到余数 ( b) 为 0，此时 GCD 是最后一个非零余数，即 的值a。

func GCD(a, b int) int {
    for b != 0 {
        a, b = b, a%b
    }
    return a
}

例如，假设我们想要找到 100 和 64 的 GCD：

初始化a为 100 和b64。检查循环条件：b(64) 不为 0。

在循环内，更新a和b：

a变成 64

b变为 100 % 64 = 36 再次检查循环条件：b(36) 不为 0。

在循环内，更新a和b：

a变成 36

b变为 64 % 36 = 28 再次检查循环条件：b(28) 不为 0。

在循环内，更新a和b：

a变成 28

b变为 36 % 28 = 8 再次检查循环条件：b(8) 不为 0。

在循环内，更新a和b：

a变成 8

b变为 28 % 8 = 4 再次检查循环条件：b(4) 不为 0。

在循环内，更新a和b：

a变成 4

b变为 8 % 4 = 0 再次检查循环条件： 现在，b(0) 为 0，因此循环退出。

该函数返回 (4) 的值a作为 GCD。

有兴趣的可以自行测试一番