c语言最小生成树的实现

技术  /  管理员 发布于 5年前   235

1.最小生成树介绍

什么是最小生成树？

最小生成树（Minimum spanning tree，MST）是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权值和最小。

2.prim算法

和Dijkstra算法很像！！请看如下Gif图，prim算法的核心思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有从u能到达的顶点v与集合s之间的最短距离。这样的操作执行n次，直到集合s中包含所有顶点。

不同的是，Dijkstra算法中的dist是从源点s到顶点w的最短路径；而prim算法中的dist是从集合S到顶点w的最短路径，以下是他们的伪码描述对比，关于Dijkstra算法的详细描述请参考文章

算法实现：

#include<iostream>#include<vector>#define INF 100000#define MaxVertex 105typedef int Vertex; int G[MaxVertex][MaxVertex];int parent[MaxVertex];   // 并查集 int dist[MaxVertex]; // 距离 int Nv;    // 结点 int Ne;    // 边 int sum;  // 权重和 using namespace std; vector<Vertex> MST;  // 最小生成树 // 初始化图信息 void build(){    Vertex v1,v2;    int w;    cin>>Nv>>Ne;    for(int i=1;i<=Nv;i++){        for(int j=1;j<=Nv;j++)G[i][j] = 0;  // 初始化图         dist[i] = INF;   // 初始化距离        parent[i] = -1;  // 初始化并查集     }    // 初始化点    for(int i=0;i<Ne;i++){        cin>>v1>>v2>>w;        G[v1][v2] = w;        G[v2][v1] = w;    }}// Prim算法前的初始化 void IniPrim(Vertex s){    dist[s] = 0;    MST.push_back(s);    for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)        if(G[s][i]){dist[i] = G[s][i];parent[i] = s;        } }// 查找未收录中dist最小的点 Vertex FindMin(){    int min = INF;    Vertex xb = -1;    for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)        if(dist[i] && dist[i] < min){ min = dist[i];xb = i;        }    return xb;}void output(){    cout<<"被收录顺序："<<endl;     for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)        cout<<MST[i]<<" ";    cout<<"权重和为："<<sum<<endl;     cout<<"该生成树为："<<endl;     for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)        cout<<parent[i]<<" ";}void Prim(Vertex s){    IniPrim(s);    while(1){        Vertex v = FindMin();        if(v == -1)break;        sum += dist[v];        dist[v] = 0;        MST.push_back(v);        for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)if(G[v][w] && dist[w])    if(G[v][w] < dist[w]){        dist[w] = G[v][w];        parent[w] = v;    }    }}int main(){    build();    Prim(1);    output();    return 0;}

关于prim算法的更加详细讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=99

3.kruskal算法

Kruskal算法也可以用来解决最小生成树的问题，其算法思想很容易理解，典型的边贪心，其算法思想为：

● 在初始状态时隐去图中所有的边，这样图中每个顶点都是一个单独的连通块，一共有n个连通块

● 对所有边按边权从小到大进行排序

● 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中，否则，将边舍弃。

● 重复执行上一步骤，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减一 或者测试完所有边时结束；如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减一，说明该图不连通。

请看下面的Gif图！

算法实现：

#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<queue>#define INF 100000#define MaxVertex 105typedef int Vertex; int G[MaxVertex][MaxVertex];int parent[MaxVertex];   // 并查集最小生成树 int Nv;    // 结点 int Ne;    // 边 int sum;  // 权重和 using namespace std; struct Node{    Vertex v1;    Vertex v2;    int weight; // 权重     // 重载运算符成最大堆     bool operator < (const Node &a) const    {        return weight>a.weight;    }};vector<Node> MST;  // 最小生成树 priority_queue<Node> q;   // 最小堆 // 初始化图信息 void build(){    Vertex v1,v2;    int w;    cin>>Nv>>Ne;    for(int i=1;i<=Nv;i++){        for(int j=1;j<=Nv;j++)G[i][j] = 0;  // 初始化图        parent[i] = -1;    }    // 初始化点    for(int i=0;i<Ne;i++){        cin>>v1>>v2>>w;        struct Node tmpE;        tmpE.v1 = v1;        tmpE.v2 = v2;        tmpE.weight = w;        q.push(tmpE);     }}//  路径压缩查找 int Find(int x){    if(parent[x] < 0)        return x;    else        return parent[x] = Find(parent[x]);} //  按秩归并 void Union(int x1,int x2){    if(parent[x1] < parent[x2]){        parent[x1] += parent[x2];        parent[x2] = x1;    }else{        parent[x2] += parent[x1];        parent[x1] = x2;    }} void Kruskal(){    // 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边     while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){        Node E = q.top();  // 从最小堆取出一条权重最小的边        q.pop(); // 出队这条边         if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){  // 检测两条边是否在同一集合 sum += E.weight; Union(E.v1,E.v2);     // 并起来 MST.push_back(E);        }    }    } void output(){    cout<<"被收录顺序："<<endl;     for(Vertex i=0;i<Nv;i++)        cout<<MST[i].weight<<" ";    cout<<"权重和为："<<sum<<endl;     for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)        cout<<parent[i]<<" ";    cout<<endl;}int main(){    build();    Kruskal();    output();    return 0;}

关于kruskal算法更详细的讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=100

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以上就是c语言最小生成树的实现的详细内容，更多请关注其它相关文章！