Python使用三种方法实现PCA算法

Python  /  管理员 发布于 7年前   132

主成分分析，即Principal Component Analysis（PCA），是多元统计中的重要内容，也广泛应用于机器学习和其它领域。它的主要作用是对高维数据进行降维。PCA把原先的n个特征用数目更少的k个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的k个特征互不相关。关于PCA的更多介绍，请参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.

主成分分析（PCA） vs 多元判别式分析（MDA）

PCA和MDA都是线性变换的方法，二者关系密切。在PCA中，我们寻找数据集中最大化方差的成分，在MDA中，我们对类间最大散布的方向更感兴趣。

一句话，通过PCA，我们将整个数据集（不带类别标签）映射到一个子空间中，在MDA中，我们致力于找到一个能够最好区分各类的最佳子集。粗略来讲，PCA是通过寻找方差最大的轴（在一类中，因为PCA把整个数据集当做一类），在MDA中，我们还需要最大化类间散布。

在通常的模式识别问题中，MDA往往在PCA后面。

PCA的主要算法如下：

1. 组织数据形式，以便于模型使用；
2. 计算样本每个特征的平均值；
3. 每个样本数据减去该特征的平均值（归一化处理）；
4. 求协方差矩阵；
5. 找到协方差矩阵的特征值和特征向量；
6. 对特征值和特征向量重新排列（特征值从大到小排列）；
7. 对特征值求取累计贡献率；
8. 对累计贡献率按照某个特定比例，选取特征向量集的字迹合；
9. 对原始数据（第三步后）。

其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来，也可以通过分解矩阵的SVD来实现，而在Scikit-learn中，也是采用SVD来实现PCA算法的。

本文将用三种方法来实现PCA算法，一种是原始算法，即上面所描述的算法过程，具体的计算方法和过程，可以参考：A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法，在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法，并且将特征值从大从小排列，省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算，来验证前面两种方法的正确性。

用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下：

import numpy as npfrom sklearn.decomposition import PCAimport sys#returns choosing how many main factorsdef index_lst(lst, component=0, rate=0):  #component: numbers of main factors  #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors)  #rate range suggest: (0.8,1)  #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst)  if component and rate:    print('Component and rate must choose only one!')    sys.exit(0)  if not component and not rate:    print('Invalid parameter for numbers of components!')    sys.exit(0)  elif component:    print('Choosing by component, components are %s......'%component)    return component  else:    print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate)    for i in range(1, len(lst)):      if sum(lst[:i])/sum(lst) >= rate:        return i    return 0def main():  # test data  mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]]    # simple transform of test data  Mat = np.array(mat, dtype='float64')  print('Before PCA transforMation, data is:\n', Mat)  print('\nMethod 1: PCA by original algorithm:')  p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat   t = np.mean(Mat, 0) # mean of each column    # substract the mean of each column  for i in range(p):    for j in range(n):      Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j])        # covariance Matrix  cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1)    # PCA by original algorithm  # eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending  U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat)   # Rearrange the eigenvectors and eigenvalues  U = U[::-1]  for i in range(n):    V[i,:] = V[i,:][::-1]  # choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0  Index = index_lst(U, component=2) # choose how many main factors  if Index:    v = V[:,:Index] # subset of Unitary matrix  else: # improper rate choice may return Index=0    print('Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.')    print('Rate distribute follows:')    print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)])    sys.exit(0)  # data transformation  T1 = np.dot(Mat, v)  # print the transformed data  print('We choose %d main factors.'%Index)  print('After PCA transformation, data becomes:\n',T1)    # PCA by original algorithm using SVD  print('\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:')  # u: Unitary matrix, eigenvectors in columns   # d: list of the singular values, sorted in descending order  u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat)  Index = index_lst(d, rate=0.95) # choose how many main factors  T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) # transformed data  print('We choose %d main factors.'%Index)  print('After PCA transformation, data becomes:\n',T2)    # PCA by Scikit-learn  pca = PCA(n_components=2) # n_components can be integer or float in (0,1)  pca.fit(mat) # fit the model  print('\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:')  print('After PCA transformation, data becomes:')  print(pca.fit_transform(mat)) # transformed data      main()

运行以上代码，输出结果为：

这说明用以上三种方法来实现PCA都是可行的。这样我们就能理解PCA的具体实现过程啦~~有兴趣的读者可以用其它语言实现一下哈

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。